モンティ・ホール問題という有名な問題があります。多くの人が直観で正しいと考える解答と、論理的に正しい解答が異なる問題として有名な問題です。
私も以前はなかなか納得がいきませんでしたが、最近はすんなり理解できるようになりました。その方法を紹介します。
モンティ・ホール問題
「３つのドアがあります。このうち１つのドアの後ろに景品があり当たりです。あなたは当たりのドアをあてなければなりません。あなたは１つのドアを選びます。すると正解を知っている出題者が、必ず、残りの２つのドアのうち、ハズレのドアを開けて教えてくれます。ここで、あなたは最初に選んだドアを残っているドアに変更してもよいと、必ず言われます。あなたは、ドアを変更すべきでしょうか？」
この問題を知らない方は考えてみてください。
正解は、「ドアを変更する」です。当たる確率が２倍になります。あなたが選んだドアをＡとします。その後、出題者がハズレだと教えてくれたドアをＢとします。Ａが当たる確率は３分の１です。ＢまたはＣが当たる確率は３分の２です。
ここで、出題者がＢはハズレだと教えてくれたのです。すると、Ｃが当たる確率は３分の２になります。Ａの当たる確率は３分の１、Ｃの確率は３分の２です。ドアを変更すれば、当たる確率は２倍になります。
典型的な間違いは次のようなものです。「開けたドア以外のどちらかが当たりなのだから、それぞれ２分の１の確率で、ドアを変更してもしなくても当たる確率は変わらない。」
この間違いの原因は、あなたがＡを選択した後に、残りのドアからハズレのドアを教えてくれたことを忘れていることです。最初から、ハズレのドアを教えたのではありません。最初にハズレのドアを教えたのならば、残りのドアの確率はどちらも２分の１になります。
あなたがドアを選択した後に教えるので、選択したドアが当たりならば出題者は残りのどちらのドアでも選べます。
あなたが選択したドアがハズレならば、出題者はハズレのドアしか選べないのです。
つまり、ドアを変更することは、最初に選択したドアがハズレであった場合に、必ず当たりになることを意味しています。そのために、ドアを変更した方が、当たる確率が２倍になります。
これで納得がいったでしょうか？
この問題は大きな論争となりましたが、現在では、モンテカルロ・シミュレーションによる実験でも正解が確認されています。
