モンティ・ホール問題の理解方法

モンティ・ホール問題

モンティ・ホール問題という有名な問題があります。多くの人が直観で正しいと考える解答と、論理的に正しい解答が異なる問題として有名な問題です。

私も以前はなかなか納得がいきませんでしたが、最近はすんなり理解できるようになりました。その方法を紹介します。

モンティ・ホール問題

「3つのドアがあります。このうち1つのドアの後ろに景品があり当たりです。あなたは当たりのドアをあてなければなりません。あなたは1つのドアを選びます。すると正解を知っている出題者が、必ず、残りの2つのドアのうち、ハズレのドアを開けて教えてくれます。ここで、あなたは最初に選んだドアを残っているドアに変更してもよいと、必ず言われます。あなたは、ドアを変更すべきでしょうか?」

 この問題を知らない方は考えてみてください。

正解は、「ドアを変更する」です。当たる確率が2倍になります。あなたが選んだドアをAとします。その後、出題者がハズレだと教えてくれたドアをBとします。Aが当たる確率は3分の1です。BまたはCが当たる確率は3分の2です。

ここで、出題者がBはハズレだと教えてくれたのです。すると、Cが当たる確率は3分の2になります。Aの当たる確率は3分の1、Cの確率は3分の2です。ドアを変更すれば、当たる確率は2倍になります。

典型的な間違いは次のようなものです。「開けたドア以外のどちらかが当たりなのだから、それぞれ2分の1の確率で、ドアを変更してもしなくても当たる確率は変わらない。」

この間違いの原因は、あなたがAを選択した後に、残りのドアからハズレのドアを教えてくれたことを忘れていることです。最初から、ハズレのドアを教えたのではありません。最初にハズレのドアを教えたのならば、残りのドアの確率はどちらも2分の1になります。

あなたがドアを選択した後に教えるので、選択したドアが当たりならば出題者は残りのどちらのドアでも選べます。

あなたが選択したドアがハズレならば、出題者はハズレのドアしか選べないのです。

つまり、ドアを変更することは、最初に選択したドアがハズレであった場合に、必ず当たりになることを意味しています。そのために、ドアを変更した方が、当たる確率が2倍になります。

これで納得がいったでしょうか?

この問題は大きな論争となりましたが、現在では、モンテカルロ・シミュレーションによる実験でも正解が確認されています。

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